Pesquisar este blog

quarta-feira, 7 de setembro de 2011

O Ensino - Aprendizagem dos números primos



Resumo: Este artigo tem origem, principalmente, nas inquietações decorrentes de minhas observações de como se dava a aprendizagem e desenvolvimento dos alunos do 1º Ano – II Segmento – EJA – Educação de Jovens e Adultos . O texto, no qual são apresentados os resultados de uma pesquisa bibliográfica sobre números primos, está articulado ao meu interesse e preocupação em encontrar sugestões para tornar o estudo deste conteúdo mais interessante para o aluno. Ao longo do trabalho, trago um pouco da história dos números primos, discuto a presença desses números no currículo escolar e as possibilidades de introduzi-lo via História, além de ilustrar algumas das aplicações dos números primos no dia a dia. O texto também traz reflexões, indagações e sugestões, tornado-se um convite para que nós educadores possamos refletir sobre a nossa prática de ensino acerca desse conteúdo.

Palavras-Chave: Números primos; prática de ensino; currículo escolar.


3.1  INTRODUÇÃO

O presente artigo é o resultado de uma análise feita no1º Ano – II Segmento – EJA – Educação de Jovens e Adultos .  Por ocasião do Estágio III, no primeiro semestre de 2011, realizei análises dos exercícios propostos pela professora regente em sala de aula, assim como da resolução destes por parte dos alunos. Tais análises indicaram que os estudantes possuem dificuldades para reconhecer se um número é primo ou não.  Percebi que as dificuldades que os estudantes tinham para lidar com este conteúdo estavam relacionadas com a divisão, já que alguns deles usavam essa operação para fazer a verificação. Constatei também que, quando na operação o divisor era composto por dois números, a dificuldade dos alunos era ainda maior.
Na ocasião, o empenho dos alunos pela participação nas aulas de Matemática foi a base para ensiná-los a relação entre a divisão e o estudo dos números primos, mas restou o questionamento acerca das possibilidades metodológicas e dos recursos possíveis para o ensino-aprendizagem deste conteúdo.
Posteriormente, conversando com um colega, ele me perguntou: “Mas, e aí, o que tem de interessante nos números primos?” Então eu resolvi respondê-lo com outra pergunta.  Indaguei a ele como na escola era ensinado o conteúdo dos números primos. Ele disse que era “normal”, o professor simplesmente ministrava esse conteúdo de acordo com que sugeria o livro, mas que ele próprio – meu colega -  nunca soube qual é a utilidade desses números na nossa vida.  Essa discussão reforçou a minha curiosidade sobre o ensino dos números primos.
Propus, então, a realização desta pesquisa cuja finalidade foi averiguar como a escola aborda os conceitos e a história dos números primos, verificar a presença desse conteúdo no currículo escolar e ainda desenvolver uma proposta de ensino para uma unidade didática centrada nos principais conceitos associados aos Números Primos.
Mas, neste contexto, cabe lembrar que o Ensino de Matemática vem passando por várias modificações, além de tornar-se foco de muitas discussões, uma delas acerca do valor da Matemática na construção da cidadania. Isto ocorre porque a sociedade se utiliza, cada vez mais, de informações científicas e recursos tecnológicos que sem a Matemática não existiriam. Em vista disto, neste artigo, também discorro sobre a possibilidade de usar situações do nosso cotidiano para introduzir os Números primos em sala de aula.


3.2 O QUE SÃO OS NÚMEROS PRIMOS?


Por definição, os números primos são números pertencentes ao conjunto dos números naturais não nulos, que possuem exatamente apenas dois divisores naturais distintos, o número 1 e o próprio número, que produzem como resultado um número também natural, ou seja, a divisão será exata com resto igual a zero. Segundo esta definição, o número 1 não é um número primo, pois o mesmo não apresenta dois divisores distintos.
O número 2 é o único número primo par, já que todos os demais números pares possuem ao menos 3 divisores, dentre eles a unidade, o próprio número e o número 2.
Números naturais não nulos que possuem mais de dois divisores são chamados de números compostos. Segundo Boyer (2003), o conceito de número primo é muito importante na Teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética.
A teoria dos números utiliza os métodos elementares da aritmética para a verificação e comprovação das propriedades essenciais do conjunto dos números inteiros e em particular as propriedades dos números primos.  E o Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1 podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores. Este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).
Para sabermos se um número natural é ou não divisível por outro, podemos efetuar a divisão e constatar que o resto de tal divisão resulta 0. Algumas regras que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número é divisível por outro são chamadas critérios de divisibilidade. Vejamos a seguir os critérios de divisibilidade em que os alunos mais apresentam ter dificuldades, estes critérios é segundo GUNDLACH, 1992.
Vamos discutir o critério de divisibilidade por 7 e por 11. Vamos começar com o 7. Para descrever esse critério GUNDLACH considerou o exemplo a seguir: Seja n = 59325. Separamos o dígito 5 das unidades e do número restante 5932, subtraímos o dobro deste dígito, isto é: 5932-10 = 5922. Em seguida repetimos este procedimento até a obtenção de um número suficientemente pequeno que possamos reconhecer, facilmente, se é ou não divisível por 7. 592-4 = 588 ; 58-16 = 42, no qual também deverá ser divisível por 7. Como 42 é divisível por 7, o critério que vamos provar é que este fato irá implicar que o número original também devera ser divisível por 7.
Seja i o digito das unidades do número n, então n pode ser escrito como 10k+i. ( No exemplo acima k = 5932 e i = 5). No procedimento descrito acima obtivemos um número r como sendo k-2i. Feitas estas observações, será suficiente provar que os números 10k+i e k-2i são tais que, se um deles é múltiplo de 7, o outro também é. Isto é devemos provar a seguinte equivalência:
10k+i é múltiplo de 7 ó k-2i é múltiplo de 7.
Demonstração: (=>) Se 10k+i é múltiplo de 7, então existe um inteiro m tal que 10k +i = 7m e, portanto, k-2i = k-2(7m-10k) = k-14m+10k = 21k-14m = 7(3k-2m) o que implica k-2i ser múltiplo de 7.
(<=) Se k-2i é múltiplo de 7, então existe um inteiro n, tal que k-2i=7n e, portanto, 10k+i=10(7n+2i)+i = 70n+20i+i = 70n+21i = 7(10n+3i) o que implica 10k+i ser múltiplo de 7. Isto conclui a prova.
No exemplo acima, como  42 é divisível por 7, então 588 também é.Sendo 588 divisível por 7, então 5932 também devera ser e , a divisibilidade deste por 7 implica que 59325 deverá ser divisível por 7.
Para a descrição do critério de divisibilidade por 11, utilizaremos o exemplo a seguir: Seja n um número de 5 dígitos abcde. Como sabemos este pode ser representado como:
 N=a x 104 + b x10³+c x 10²+d x 10+e.
Fazendo as seguintes substituições,
10=11-1
100=99+1
1000=1001-1
10000=9999+1
Obtemos,
A(9999+1)+b(1001-1)+c(99+1)+d(11-1)+e=
9999 a +1001b+99c+11d+[(a+c+e)-(b+d)].
Como 9999 a+1001b+99c+11d é divisível por 11, então n será divisível por 11, se, e somente se, [(a+c+e)-(b+d) o for. Observe que os dígitos a,c e e ocupa posições ímpares em abcde  enquanto b e d posições pares. Nesta última sentença, utilizei dois fatos elementares:
1º) Todo número da forma 99...9, onde o número de “9”s é par, é divisível por 11.
2º) Todo número da forma 100...01, onde o número de “0”s entre os dois “uns” é par, também é múltiplo de 11. 

3.3. A HISTÓRIA DOS NÚMEROS PRIMOS

Os números primos, e as suas propriedades, foram pela primeira vez examinados extensivamente pelos antigos matemáticos Gregos. Os gregos antigos eliminavam o 1 do conjunto dos primos porque sequer o consideravam como número. Euclides e Aristóteles aceitavam o 2 como primo, mas isso não ocorria com os pitagóricos mais antigos.  Para eles o 2 era apenas o principio dos pares. Hoje em dia, a tradicional eliminação do 1 do conjunto dos números primos  permite maior naturalidade no enunciado de teoremas e fórmulas referente a números primos.
De fato, segundo Hygino, (1992, p. 49), Euclides deu uma das primeiras contribuições significativas à teoria dos números primos ao provar que o conjunto destes números é infinito. Um pouco depois da época de Euclides, Erastóstenes desenvolveu o primeiro método sistemático para verificar se um número é primo. Depois disso, poucos resultados importantes foram obtidos na busca de métodos gerais para verificar se um inteiro é primo.
Já Sara Oliveira (2011) afirma que a História dos Números Primos é-nos fornecida por Fermat no início do século XVII.  Este provou uma especulação que diz que todo o número primo da forma 4n+1 pode ser escrito de um só modo como soma de dois quadrados e, foi capaz de nos mostrar que qualquer número pode ser escrito como soma de quatro quadrados. Criou um novo método para fatorizar números primos grandes. O Pequeno Teorema de Fermat é à base de muitos resultados da Teoria dos Números, e de métodos conceptualizados com vista a determinação de números primos, que ainda hoje são utilizados em larga escala, em computação.
A autora afirma também que Fermat correspondeu-se com outros matemáticos do seu tempo, e em particular com o monge Marin Mersenne.  Numa das suas cartas a Mersenne, mostrou que os números da forma 4n -1 , (número de Fermat) são sempre primos, mas o resultado falha. Números desta forma são chamados de Números de Fermat e, só cerca de 100 anos mais tarde é que Euler demonstra que tal tem uma falha:  232  + 1=4294967297 que é divisível por 641 e logo não é primo. Os Números de Fermat da forma 2n  - 1 também atraíram a atenção, devido à demonstração óbvia de que caso n não seja um número primo, então estes números são compostos, logo fatóraveis. Estes são vulgarmente chamados de Números de Mersenne, devido ao estudo que este matemático lhe dedicou. Nem todos os números da forma 2n  -1 com n primo são números primos.  Por exemplo, 211 -1 =2047=23x89  é composto.
Contudo, Yokoyama (2009) ressalta que a primeira vista os números primos parecem não ter uma ordem específica de aparecimento. Por exemplo, em relação aos 100 primeiros números imediatamente antes de 10 000 000  existem apenas 9 números primos, enquanto nos 100 números que se seguem existem apenas 2 números primos. No entanto a uma ainda maior escala, a distribuição de números primos parece ser mais regular. Legendre e Gauss fizeram ambos extensos cálculos sobre a densidade dos números primos. Gauss (que era um prodígio do cálculo) disse a um amigo que sempre que tinha 15 minutos de folga, os ocupava contando os números primos num alcance de 1000 números. No fim da sua vida estimou-se que Gauss tinha contado todos os números primos até 3 milhões.
            Ainda há muitas questões por desvendar (algumas delas que datam de há centenas de anos atrás) relacionadas com  números primos. Como a pergunta: Quantos números primos existem? Segundo Hygino ( 1992. p. 47), Os gregos antigos conheciam a resposta a esta questão, eles afirmaram que os números primos são finitos.                                                                                 
Mesmo assim, ate hoje não se tem uma resposta aceitável.


3.4. OS NÚMEROS PRIMOS NO CURRICULO ESCOLAR

Para que a Matemática trabalhada na escola tenha atividades mais adequadas, é importante valorizar os métodos de ensino e o seu uso como uma estratégia para atingir e resolver problemas relevantes, que estimulem o aprendizado do aluno. De acordo com Antunes, (2001, p.18), o professor pode estimular a inteligência do aluno propondo-lhe um problema e enfatizando a necessidade de resolvê-lo. Para que isso ocorra, a resolução de problemas tem grande importância para esse ensino, pois trabalha com situações ligadas ao cotidiano dos alunos, e que permitem explorar temas importantes para o trabalho em sala de aula.
A resolução de problemas não visa somente trabalhar com situações problemas encontradas no cotidiano dos alunos, é preciso também trabalhar com assuntos que sejam interessantes para eles, despertando assim o prazer em aprender Matemática, e ao se encontrar com uma situação problema o aprendiz irá avançar, utilizando a investigação, reflexão e interesse, pensando produtivamente, sobre como utilizar conhecimentos matemáticos para a resolução. Trabalhar atividades do cotidiano com os alunos exige do professor muita criatividade, pois fora da escola bem ou mal, elas resolvem problemas e quando o problema se apresenta em sala de aula já não é mais o mesmo (há inclusive dificuldades na interpretação). Portanto o papel do professor é trabalhar com situações problemas que permita aos alunos relacionarem os conhecimentos que já possuem, com os conhecimentos trabalhados na escola, e assim feito o aluno poderá adquirir de maneira significativa, a linguagem Matemática.
Para que ocorra uma mudança na forma de educar, é necessário que o educador obtenha uma nova visão sobre como trabalhar a Matemática, e além da resolução de problemas, outra alternativa, é que o professor passe a valorizar a experiência do aluno resgatando a sua autonomia, seu conhecimento prévio, o trabalho através de jogos, da história dos números primos e situações que realmente sejam interessantes aos alunos.
O conhecimento prévio do aluno tem que ser apreciado, não dá para negar o que ele aprendeu em sua existência, pois ao chegar à escola o aluno já traz consigo conhecimentos informais sobre a matéria, o que certamente indica que ele deparou com situações em que utilizasse à matemática, e é a partir dos informações que ele possui poderá construir novos conhecimentos. Fazendo minhas observações em sala de aula, notei que alguns alunos (e até mesmo professores) têm a visão de que a matemática  feita somente com números e cálculos faz com que os alunos tenham problema na compreensão da Matemática. Penso que este pode ser um dos resultados negativos de se trabalhar a Matemática de forma descontextualizada, sem ligação alguma com sua história.
De fato, ao preparar minhas aulas, dedicando-me a uma análise preliminar da abordagem dos números primos por alguns livros didáticos, cheguei há conclusão que poucos deles contribuem para auxiliar o professor a introduzir a história dos números primos no currículo escolar. Conclui-se assim que a falta de fundamentação teórica adequada em tais livros dificulta a prática do uso da história dos números primos em sala de aula. Alguns professores até arriscam, mas os livros didáticos não deixam bem claro como explorar este recurso pedagógico.
Entendo ainda que a justificativa para a inclusão da história dos números primos no currículo escolar  está articulada à necessidade de mostrar a utilidade dos conteúdos a serem trabalhados. Os Números Primos têm um papel essencial na matemática e no nosso dia a dia, e que é pouco destacado nos currículos.
Segundo Antunes (2001, p.36), o caminho da comparação envolve a observação, conhecimento por meio do qual se chega a conferir e naturalmente compreender. Por exemplo, podemos introduzir a aula destacando que os números primos passaram a ter uma importante aplicação ao estar ligados ao intenso desenvolvimento das comunicações e da Informática. O professor pode destacar que os serviços de comunicação, ao controlar dados por computador, prestam uma infinidade de serviços. Em particular, a transferência eletrônica de grandes somas em dinheiro ocorre a cada minuto nos dias atuais, envolvendo bancos e empresas de diversos países. Quando a transferência de dinheiro envolve grandes empresas e consideráveis quantias, o código de acesso à conta bancaria precisam ser consideravelmente mais elaborados. Nesse ponto entram os números primos: eles são os instrumentos para a aquisição de códigos praticamente indevassáveis. Em vista do exposto, este poderia ser um tema utilizado pelo professor para ilustrar o uso dos Números Primos e motivar o seu estudo.

Nenhum comentário:

Postar um comentário